Курс начертательной геометрии под редакцией В.Гордон --------------------------------------------------------------- OCR: Сергей Болдырев --------------------------------------------------------------- ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие редактора к двадцать четвертому изданию 6 Предисловие к восемнадцатому изданию 7 Принятые обозначения 8 Введение 9 Глава I. Образование проекций 10 ╖ 1. Проекции центральные 10 ╖ 2. Проекции параллельные 11 ╖ 3. Метод Монжа 13 Вопросы к главе I 14 Глава П. Точка и прямая 15 ╖ 4. Точка в системе двух плоскостей проекций ,, 2 15 ╖ 5. Точка в системе трех плоскостей проекций 1, 2, 3 17 Вопросы к ╖╖ 4-5 18 ╖ 6. Ортогональные проекции и система прямоугольных координат .... 18 ╖ 7. Точка в четвертях и октантах пространства 20 Вопросы к ╖╖6-7 22 ╖ 8. Образование дополнительных систем плоскостей проекций 22 ╖ 9. Чертежи без указания осей проекций 24 Вопросы к ╖╖ 8-9 25 ╖ 10. Проекции отрезка прямой линии 25 ╖ 11. Особые (частные) положения прямой линии относительно плоскостей про екций 27 ╖ 12. Точка на прямой. Следы прямой 29 Вопросы к ╖╖ 10-12 32 ╖ 13. Построение на чертеже натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона прямой к плоскостям проекций 1 и 2 ╥ ╥ ╥ 32 ╖ 14. Взаимное положение двух прямых 35 ╖ 15. О проекциях плоских углов 37 Вопросы к ╖╖ 13-15 40 Глава III. Плоскость 42 ╖ 16. Различные способы задания плоскости на чертеже 42 ╖ 17. Следы плоскости 43 ╖ 18. Прямая и точка в плоскости. Прямые особого положения 44 Вопросы к ╖╖ 16-18 49 ╖ 19. Положения плоскости относительно плоскостей проекций 49 Вопросы к ╖ 19 54 ╖ 20. Проведение проецирующей плоскости через прямую линию 54 ╖ 21. Построение проекций плоских фигур 55 Вопросы к ╖╖ 20-21 61 Глава ГУ. Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости .... 62 ╖ 22. Обзор взаимных положений двух плоскостей, прямой линии и плоскости 62 ╖ 23. Пересечение прямой линии с плоскостью, перпендикулярной к одной или к двум плоскостям проекций 64 ╖ 24. Построение линии пересечения двух плоскостей 65 Вопросы  ╖╖ 22-24 68 ╖ 25. Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения 69 ╖ 26. Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам пересечения прямых линий с плоскостью 70 Вопросы к ╖╖ 25-26 72 ╖ 27. Построение прямой линии и плоскости, параллельных между собой ... 72 ╖ 28. Построение взаимно параллельных плоскостей 73 Вопросы к ╖╖ 27-28 74 ╖ 29. Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости 74 ╖ 30. Построение взаимно перпендикулярных плоскостей 77 ╖ 31. Построение проекций угла между прямой и плоскостью и между двумя плоскостями 78 Вопросы к ╖╖ 29-31 80 Глава V. Способы перемены плоскостей проекций и вращения 81 ╖ 32. Приведение прямых линий и плоских фигур в частные положения отно сительно плоскостей проекций 81 ╖ 33. Способ перемены плоскостей проекций 81 Вопросы к ╖╖ 32-33 85 ╖ 34. Основы способа вращения 85 ╖ 35. Вращение точки, отрезка прямой, плоскости вокруг оси, перпендику лярной к плоскости проекций 86 Вопросы к ╖╖ 34-35 90 ╖ 36. Применение способа вращения без указания на чертеже осей вращения, перпендикулярных к плоскости 1 или 2 90 ╖ 37. Вращение точки, отрезка прямой, плоскости вокруг оси, параллельной плоскости проекций, и вокруг следа плоскости .... 92 Вопросы к ╖╖ 36-37 96 ╖ 38. Примеры решения задач с применением способов перемены плоскостей проекций и вращения 96 Вопросы к ╖ 38 106 Глава VI. Изображение многогранников 107 ╖ 39. Построение проекций многогранников 107 ╖ 40. Чертежи призм и пирамид 108 ╖ 41. Система расположения изображений на технических чертежах 112 ╖ 42. Пересечение призм и пирамид плоскостью и прямой линией .... 114 Вопросы к ╖╖ 39 --42 118 ╖ 43. Пересечение одной многогранной поверхности другою 118 ╖ 44. Общие приемы развертывания гранных поверхностей (призмы и пирамиды) 121 Вопросы к ╖╖ 43-44 124 Глава VII. Кривые линии 125 ╖ 45. Общие сведения о кривых линиях и их проецировании 125 ╖ 46. Плоские кривые линии 127 ╖ 47. Пространственные кривые линии 130 Вопросы  ╖╖ 45-47 131 ╖ 48. Винтовые линии -- цилиндрические и конические 131 Вопросы к ╖ 48 136 Глава VIII. Кривые поверхности 137 ╖ 49. Общие сведения о кривых поверхностях 137 ╖ 50. Обзор некоторых кривых поверхностей, их задание и изображение на чертежах , 139 A. Поверхности линейчатые развертываемые 139 Б. Поверхности линейчатые неразвертываемые 143 B. Поверхности нелинейчатые 148 Г. Поверхности, задаваемые каркасом 149 Д. Поверхности графические 149 Вопросы к ╖╖ 49-50 150 ╖ 51. Поверхности вращения 150 Вопросы  ╖ 51 156 ╖ 52. Винтовые поверхности и винты 157 Вопросы  ╖ 52 163 ╖ 53. Проведение плоскостей, касательных  кривым поверхностям 164 ╖ 54. Примеры построения очерков проекций тела вращения с наклонной осью 166 Вопросы к ╖╖ 53-54 169 Глава IX. Пересечение кривых поверхностей плоскостью и прямой линией .... 170 ╖ 55. Общие приемы построения линии пересечения кривой поверхности плос костью 170 ╖ .56. Пересечение цилиндрической поверхности плоскостью. Построение раз вертки.. 171 Вопросы к ╖╖ 55-56 176 ╖ 57. Пересечение конической поверхности плоскостью. Построение развертки 176 Вопросы к ╖ 57 185 ╖ 58. Пересечение сферы и тора плоскостью. Пример построения "линии среза" на поверхности комбинированного тела вращения 185 ╖ 59. Пересечение кривых поверхностей прямой линией 189 Вопросы к ╖╖ 58-59 192 Глава X. Пересечение одной поверхности другою, ю которых хотя бы одна кривая 194 ╖ 60. Общий способ построения линии пересечения одной поверхности другою 194 ╖ 61. Подбор вспомогательных секущих плоскостей в случаях, когда они могут пересекать обе поверхности по прямым линиям 195 ╖ 62. Применение вспомогательных секущих плоскостей, параллельных пло скостям проекций 200 Вопросы к ╖╖ 60-62 201 ╖ 63. Некоторые особые случаи пересечения одной поверхности другою . . . 202 ╖ 64. Применение вспомогательных секущих сфер 206 ╖ 65. Проецирование линии пересечения двух поверхностей вращения второго порядка на плоскость, параллельную их общей плоскости симметрии . . 211 Вопросы  ╖╖ 63 -- 65 216 ╖ 66. Примеры построения линий пересечения одной поверхности другою . . . 217 ╖ 67. Пересечение кривой линии с кривой поверхностью 225 Вопросы к ╖╖ 66-61 . 226 Глава XI. Развертывание кривых поверхностей 227 ╖ 68. Развертывание цилиндрических и конических поверхностей 227 ╖ 69. Условное развертывание сферической поверхности 229 ╖ 70. Примеры построения разверток некоторых форм 231 Вопросы к главе XI 233 Глава XII. Аксонометрические проекции 234 ╖ 71. Общие сведения 234 ╖ 72. Прямоугольные аксонометрические проекции. Коэффициенты искажения и углы между осями 238 ╖ 73. Построение прямоугольной аксонометрической проекции окружности . . . 243 ╖ 74. Примеры построений в изометрической и диметрической проекциях ... 251 ╖ 75. Некоторые косоугольные аксонометрические проекции 255 Вопросы к главе XII 258 Приложения 259 ╖ 76. О родственном соответствии и его применении к решению некоторых задач 259 Вопросы к ╖ 76 265 Добавление. Начертательная геометрия и машинная графика. (А. А. Чекмарев) 266 Список дополнительной литературы 272 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА К ДВАДЦАТЬ ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ Учебное пособие соответствует программе, утвержденной Министерством общего и профессионального образования РФ, для машиностроительных, приборостроительных и механико-технологических специальностей втузов. Одним из направлений перестройки высшей школы является усиление самостоятельности, предоставляемой студентам при изучении той или иной дисциплины. При изучении начертательной геометрии этому будет способствовать настоящее издание "Курс начертательной геометрии", а также новое издание "Сборник задач по курсу начертательной геометрии" В.О. Гордона, Ю.Б. Иванова, Т.Е. Солнцевой. Совместное их использование даст студентам возможность не только понять и осмыслить весь курс, уяснить план и ход решения задач, приведенных в задачнике в качестве примеров, но и самостоятельно проверить свои решения, сверив их с помещенными в конце задачника ответами. Для повторения и закрепления изучаемого материала в целях самопроверки к материалу каждого параграфа имеется значительное число вопросов. В конце книги помещено небольшое дополнение, написанное профессором А.А. Чекмаревым "Начертательная геометрия и машинная графика", о применении персональных компьютеров для решения на экране монитора графических задач начертательной геометрии. В настоящем издании указана учебная литература для желающих ознакомиться с различными вариантами изложения разделов программы и с некоторыми дополнительными вопросами начертательной геометрии. В книге указана также литература, относящаяся к машинной графике. Профессор Ю.Б. Иванов ПРЕДИСЛОВИЕ К ВОСЕМНАДЦАТОМУ ИЗДАНИЮ После 14-го издания учебника (1962 г.), пересмотренного и сокращенного, следовали стереотипные выпуски. Настоящее издание книги значительно переработано, прежде всего с целью согласования с пособием "Сборник задач по курсу начертательной геометрии" В. О. Гордона, Ю. Б. Иванова и Т. Е. Солнцевой. В связи с этим из учебника исключен соответствующий материал -- задачи для самостоятельного решения и некоторые примеры построений, включенные в упомянутый выше сборник. В этом же сборнике приведены ответы на все задачи в графической форме. Учтены также пожелания, высказанные по содержанию и объему учебника. В основу учебника, как и прежде, положена программа, утвержденная Министерством высшего и среднего специального образования СССР для машиностроительных, приборостроительных и механико-технологических специальностей втузов. Поэтому в книге изложены "Система ортогональных проекций" и "Аксонометрия". Пожелания о сокращении объема с тем, чтобы он соответствовал времени, отводимому по учебному плану на курс начертательной геометрии, конечно, не могли быть удовлетворены за счет программного материала. Но такое сокращение было в поле зрения автора. В то же время переработка книги позволила ввести местами новый материал для более полного изложения "некоторых разделов программы и обоснования отдельных положений. Значительно увеличено число вопросов для повторения изучаемого материала и самопроверки. Обозначения, принятые в книге при первом издании (1936 г.), в основном введены еще в XIX столетии отечественными учеными Н. И. Макаровым и В. И. Кур-дюмовым и применяются, как показывает опыт, в учебной работе и в учебной литературе без каких-либо осложнений. Эти обозначения просты, выразительны и не загромождают чертежи. Очевидно, на сегодняшний день нельзя указать систему обозначений, которая могла бы считаться апробированной в качестве обладающей безусловными достоинствами для внедрения ее в учебную практику. Если "старым" обозначениям присущи некоторые недостатки, то не меньшие, а подчас и значительно большие недостатки присущи так называемым "новым" системам. Как и в предыдущих изданиях (начиная с 14-го), в книге помещена таблица для сопоставления обозначений в учебной литературе сегодняшнего дня. В этом издании указана литература, преимущественно учебная, для желающих ознакомиться с вариантами изложения разделов программы и некоторыми дополнительными вопросами. В работе по подготовке книги к переизданию автором учтены советы и замечания А. В. Бубенникова, Ю. Б. Иванова, Л. А. Ольховского и др., которым автор приносит сердечную благодарность. Автор благодарен В. П. Панченко за помощь в подготовке чертежей. Хотя работа над книгой со времени кончины М. А. Семенцова-Огиевского (1950 г.) выпала на мою долю и книга с тех пор претерпела ряд существенных изменений и дополнений, наши имена стоят рядом в заглавии в память о нашей долголетней дружбе и совместной работе. В. Гордон ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Точки в пространстве -- прописными буквами латинского алфавита A, B, С, ..., а так же цифрами. Последовательность точек (и других элементов) -- подстрочными индексами╥. a1, А2, А3... Линии в пространстве - по точкам, определяющим линию, и строчными буквами ла- тинского алфавита a, b, c, ... Углы -- строчными буквами греческого алфавита , , ,  и . Плоскости -- строчными буквами греческого алфавита , , ,  и . Поверхности -- римскими цифрами, а также прописными буквами русского алфавита: цилиндр -- Ц, конус -- К, сфера -- Сф., ... Плоскости проекций -- строчной буквой греческого алфавита . Произвольная плоскость -- , горизонтапьная -- , фронтальная -- 2, профильная (или дополнительная) -- Пз, любая дополнительная -- 4, 5,... Оси проекций -- строчными буквами х, у, z или (при введении дополнительных пло- скостей) 2/, 2/3, 2/5, ... Начапо координат - прописной буквой О. Проекции точек:: на произвольную плоскость  -- A0, Bo, Co,...; на горизонтальную плоскость  --A', B', С',...; на фронтальную плоскость 2 -- A", В", C"...; на профильную плоскость Пз -- А'", В'", C'" .. на дополнительную плоскость 4 -- АIV , BIV , CIV ... 10. Проекции линий -- по проекциям точек, определяющих линию; кроме того: горизонтапьная линия -- буквой h; фронтальная линия -- буквой f; профильная линия -- буквой р. 11. Обозначение плоскостей, заданных следами: горизонтальный след плоскости  -- h0a; фронтальный след плоскости  -- foa; профильный след плоскости  -- oa В тех случаях, когда плоскость не требует наименования, обозначение следов упрощено - ho, fo, po". Для проецирующих плоскостей задается проекция плоскости: ' -- горизонтально-проецирующая плоскость; " -- фронтально-проецирующая плоскость;  '"-- профильно-проецирующая плоскость. Точки схода следов плоскости -- прописными буквами , ,  с индексом соответствую-щей плоскости: , У, . 12. При преoбaзoвaнии эпюра (чертежа) вращением (или совмещением) в новом поло- жении точки -- 0x01 graphic плоскости -- 0x01 graphic следов плоскости -- 0x01 graphic . После второго вращения соответственно . 0x01 graphic Новое положение точки схода следов при вращении плоскости a -- 0x01 graphic 13. Плоскость проекций (картинная плоскость) в аксонометрии -- буквой а, а проекция любого элемента на эту плоскость -- с индексом а. ВВЕДЕНИЕ В число дисциплин, составляющих основу инженерного образования, входит начертательная геометрия. Предметом начертательной геометрии является изложение и обоснование способов построения изображений пространственных форм на плоскости и способов решения задач геометрического характера по заданным изображениям этих форм1). Изображения, построенные по правилам, изучаемым в начертательной геометрии, позволяют представить мысленно форму предметов и их взаимное расположение в пространстве, определить их размеры, исследовать геометрические свойства, присущие изображаемому предмету. Начертательная геометрия, вызывая усиленную работу пространственного воображения, развивает его. Наконец, начертательная╥ геометрия передает ряд своих выводов в практику выполнения технических чертежей, обеспечивая их выразительность и точность, а следовательно; и возможность осуществления изображенных предметов. Правила построения изображений, излагаемые в начертательной геометрии, основаны на методе проекций 2). Рассмотрение метода проекций начинают с построения. проекций точки, так как при построении изображения любой пространственной формы рассматривается ряд точек, принадлежащих этой форме. *) Пространственные формы можно изображать не только на плоской, но и на-какой-либо другой поверхности, например цилиндрической или сферической, что изучается в специальных отделах начертательной геометрии. 2) В основе этого слова латинское projectio -- бросание вперед, вдаль (от projicere-- бросить, выставить вперед). В дальнейшем изложении в смысле "построить проекции" будет применяться слово "проецировать", а не слово "проектировать", как это имело место раньше. ГЛАВА I ОБРАЗОВАНИЕ ПРОЕКЦИЙ ╖ 1. ПРОЕКЦИИ ЦЕНТРАЛЬНЫЕ Для получения центральных проекций (центральное проецирование) надо задаться плоскостью проекций и центром проекций -- точкой, не лежащей в этой плоскости (рис. 1: плоскость 0 и точка S). Взяв некоторую точку А и проведя через S и А прямую линию до пересечения ее с пл. 0, получаем точку А╟. Так же поступаем, например, с точками В и С. Точки А╟, В╟, С╟ являются центральными проекциями точек А, В, С на пл. 0: они получаются в пересечении проецирующих прямых (или, иначе, проецирующих лучей) SA, SB, SC с плоскостью проекций'). 0x01 graphic Если для некоторой точки D (рис. 1) проецирующая прямая окажется параллельной плоскости проекций, то принято считать, что они пересекаются, но в бесконечно удаленной точке: точка D также имеет свою проекцию, но бесконечно удаленную (D"). Не изменяя положения пл. 0 и взяв новый центр S1 (рис. 2), получаем новую проекцию точки А -- точку A╟1 Если же взять центр S2 на той же проецирующей прямой SA, то проекция А╟ останется неизменной (А╟" А╟). Итак, при заданных плоскости проекций и центре проекций (рис. 1) можно построить проекцию точки; но имея проекцию (например, А╟), нельзя по ней определить положение самой точки А в пространстве, так как любая точка проецирующей прямой SA проецируется в одну и ту же точку; для единственного решения, очевидно, необходимы дополнительные условия. Проекцию линии можно построить, проецируя ряд ее точек (рис. 3). При этом проецирующие прямые в своей совокупности образуют коническую поверхность 2) *) Центр проекций называют также полюсом проекций, а центральную проекцию -- полярной. ) В связи с этим центральные проекции также называют коническими. Понятие о конической поверхности см. в стереометрии. 10 или могут оказаться в одной плоскости (например, при проецировании прямой ли-нии, не проходящей через центр проекций, или ломаной и кривой, все точки которых лежат в плоскости, совпадающей с проецирующей). 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 3 Рис. 4 Очевидно, проекция линии получается в пересечении проецирующей поверхности с плоскостью проекций (рис. 3). Но, как показывает рис. 4, проекция линии не определяет проецируемую линию, так как на проецирующей поверхности можно разместить ряд линий, проецирующихся в одну и ту же линию на плоскости проекций. От проецирования точки и линии можно перейти к проецированию поверхности и тела. ╖ 2. ПРОЕКЦИИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ Рассмотрим теперь способ проецирования, называемый параллельным. Условимся считать все проецирующие прямые параллельными. Для их проведения должно быть указано некоторое направление (см. стрелку на рис. 5). Так построенные проекции называются параллельными. Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального, если принять, что центр проекций бесконечно удален. Следовательно, параллельной проекцией точки будем называть точку пересечения проецирующей прямой, проведенной параллельно заданному направлению, с плоскостью проекций. 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 5 Рис. 6 Чтобы получить параллельную проекцию некоторой линии, можно построить проекции ряда ее точек и провести через эти проекции линию (рис. 6). При этом проецирующие прямые в своей совокупности образуют цилиндрическую поверхность; поэтому параллельные проекции также называют цилиндрическими1). Понятие о цилиндрической поверхности см. в стереометрии. 11 В параллельных проекциях, так же как и в центральных: 1) для прямой линии проецирующей поверхностью в общем случае служит плоскость, и поэтому прямая линия вообще проецируется в виде прямой; 2) каждая точка и линия в пространстве имеют единственную свою проекцию; 3) каждая точка на плоскости проекций может быть проекцией множества точек, если через них проходит общая для них проецирующая прямая (рис. 5: точка D╟ служит проекцией точек D, D1, D2); 4) каждая линия на плоскости проекций может быть проекцией множества линий, если они расположены в общей для них проецирующей плоскости (рис. 7: отрезок А╟В╟ служит проекцией отрезков АВ и А1В1 и отрезка А2В2 плоской кривой линии); для единственного решения необходимы дополнительные условия; 5) для построения проекции прямой достаточно спроецировать две ее точки и через полученные проекции этих точек провести прямую линию; 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 7 6) если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции этой прямой (рис. 8: точка К принадлежит прямой, проекции К╟ принадлежит проекции этой прямой). Кроме перечисленных свойств для параллельных проекций можно указать еще следующие: 7) если прямая параллельна направлению проецирования (прямая АВ на рис. 8), то проекцией прямой (и любого ее отрезка) является точка (A╟, она же В╟); 8) отрезок прямой линии, параллельной плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в натуральную свою величину (рис. 8: CD = C╟D╟, как отрезки параллельных между параллельными). В дальнейшем будут рассмотрены еще некоторые свойства параллельных проекций, показывающие, какие натуральные соотношения в рассматриваемых предметах сохраняются в проекциях этих предметов. Применяя приемы параллельного проецирования точки и линии, можно строить параллельные проекции поверхности и тела. Параллельные проекции делятся на косоугольные и прямоугольные. В первом случае направление проецирования составляет с плоскостью проекций угол, не равный 90╟; во втором случае проецирующие прямые перпендикулярны к пл. пр. При рассмотрении параллельных проекций следовало бы представить себя удаленным на бесконечно большое расстояние от изображения. На самом же деле предметы и их изображения рассматриваются с конечного расстояния; при этом лучи, идущие в глаз зрителя, образуют поверхность коническую, а не цилиндрическую. Следовательно, более естественное изображение получается (при соблюдении определенных условий) центральным проецированием, а не параллельным. Поэтому, когда требуется, чтобы изображение давало такое же зрительное впечатление, как и самый предмет, применяют перспективные проекции, в основе которых лежит центральное проецирование 1). 1) Перспективные проекции в программу данного курса не входят. Интересующихся отсылаем к книгам: Глаголев Н. А. Начертательная геометрия.- М: Гостехиздат, 1953; Добряков А. И. Курс начертательной геометрии.--М.: ГТТИ, 1931. 12 Но сравнительно большая простота построения и свойства параллельных проекций, обеспечивающие сохранение натуральных размерных соотношений, объясняют широкое применение параллельного проецирования, несмотря на условность, указанную выше. ╖ 3. МЕТОД МОНЖА Сведения и приемы построений, обусловливаемые потребностью в плоских изображениях пространственных форм, накапливались постепенно еще с древних времен. В течение продолжительного периода плоские изображения выполнялись преимущественно как изображения наглядные. С развитием техники первостепенное значение приобрел вопрос о применении метода, обеспечивающего точность и удобоизмеримость изображений, т. е. возможность точно установить место каждой точки изображения относительно других точек или плоскостей и путем простых приемов определить размеры отрезков линий и фигур. Постепенно накопившиеся отдельные правила и приемы построений таких изображений были приведены в систему и развиты в труде французского ученого  о ц ж а, изданном в 1799 г. под названием "Geometric' descriptive". Гаспар Монж (1746--1818) вошел в историю как крупный французский геометр конца XVIII и начала XIX вв., инженер, общественный и государственный деятель в период революции 1789--1794 гг. и правления Наполеона I, один из основателей знаменитой Политехнической школы в Париже, участник работы по введению метрической системы мер и весов. Будучи одним из министров в революционном правительстве Франции, Монж много сделал для ее защиты от иностранной интервенции и для победы революционных войск. Монж не сразу получил возможность опубликовать свой труд с изложением разработанного им метода. Учитывая большое практическое значение этого метода для выполнения чертежей объектов военного значения и не желая, чтобы метод Монжа стал известен вне границ Франции, ее правительство запретило печатание книги. Лишь в конце XVIII столетия это запрещение было снято. После реставрации Бурбонов Гаспар Монж подвергся гонению, вынужден был скрываться и кончил свою жизнь в нищете. Изложенный Мон-жем метод -- метод параллельного проецирования (причем берутся прямоугольные проекции на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций) -- обеспечивая выразительность, точность и удобоизмеримость изображений предметов на плоскости, был и остается основным методом составления технических чертежей. Слово прямоугольный часто заменяют словом ортогональный, образованным из слов древнегреческого языка, обозначающих "прямой" и "угол". В дальнейшем изложении термин ортогональные проекции будет применяться для обозначения системы прямоугольных проекций на взаимно перпендикулярных плоскостях. В данном курсе преимущественно рассматриваются прямоугольные проекции. В случае применения параллельных косоугольных проекций это будет каждый раз оговариваться. Начертательная геометрия (н. г.) стала предметом преподавания в нашей стране с 1810 г., когда в только что основанном Институте корпуса инженеров путей сообщения начались занятия наряду с другими дисциплинами учебного плана и по начертательной геометрии. Это было вызвано все возрастающим ее практическим значением. В Институте корпуса инженеров путей сообщения1) протекала преподавательская деятельность окончившего этот институт в 1814 г. Якова Александровича Севастьянова (1796--1849), с именем которого связано появление в России первых сочинений по н. г., сначала переводных с французского языка, а затем первого оригинального труда под названием "Основания начертательной геометрии" (1821 г.), в основном посвященного изложению метода ортогональных проекций. 1) Теперь Петербургский государственный университет путей сообщения. Лекции Я. А. Севастьянов читал на русском языке, хотя преподавание в те годы вообще велось на французском языке. Тем самым Я. А. Севастьянов положил начало преподаванию и установлению терминологии в н. г. на родном языке. Еще при жизни Я. А. Севастьянова н. г. вошла в учебные планы ряда гражданских и военных учебных заведений. Крупный след в развитии н. г. в XIX столетии в России оставили Николай Иванович Макаров (1824--1904), преподававший этот предмет в Петербургском технологическом институте, и Валериан Иванович Курдюмов (1853--1904), который, будучи профессором Петербургского института инженеров путей сообщения по кафедре строительного искусства, читал в этом институте курс н. г. В своей практике преподавания В. И. Курдюмов приводит многочисленные примеры применения н. г. к решению инженерных задач. Деятельностью и трудами В. И. Курдюмова как бы завершился почти столетний период развития н. г. и ее преподавания в России. В этот период наибольшее внимание было уделено организации пртподавания, созданию трудов, предназначенных служить учебниками, разработке улучшенных приемов и способов решения ряда задач. Это были существенные и необходимые моменты в развитии преподавания н. г.; однако ее научное развитие отставало от достижений в области методики изложения предмета. Лишь в трудах В. И. Курдюмова теория получила более яркое отражение. Между тем в некоторых зарубежных странах в XIX столетии н. г. уже получила значительное научное развитие. Очевидно, для ликвидации отставания и для дальнейшего развития научного содержания н. г. необходимо было расширить ее теоретическую основу и обратиться  исследовательской работе. Это можно видеть в трудах и деятельности Евграфа Степановича Федорова (1853 -- 1919), знаменитого русского ученого, геометра-кристаллографа, и Николая Алексеевича Рынина (1877--1942), которые, уже в последние годы перед Великой Октябрьской социалистической революцией обратились к развитию начертательной геометрии как науки. К настоящему времени начертательная геометрия как наука получила значительное развитие в трудах советских ученых Н.А.Глаголева (1888--1945), А. И. Д обряк ова (1895-1947), Д. Д. Морду  аи-Бо л товск ого (1876-1952), М. Я. Громова (1884-1963), С. М. Колотова (1885-1965), Н. Ф. Четверухина (1891-1974), И. И. Котова (1909-1976) и многих других1). ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 1 1. Как строится центральная проекция точки? 2. В каком случае центральная проекция прямой линии представляет собой точку? 3. В чем заключается способ проецирования, называемый параллельным? 4. Как строится параллельная проекция прямой линии? 5. Может ли параллельная проекция прямой линии представлять собой точку? 6. Если точка принадлежит данной прямой, то как взаимно располагаются их проекции? 7. В каком случае в параллельной проекции отрезок прямой линии проецируется в натуральную свою величину? 8. Что такое "метод Монжа"? 9. Как расшифровывается слово "ортогональный"? 1) Интересующихся более подробными сведениями отсылаем к 6--13-му изданиям или, например, к книге: Бубенников А. В., Громов М. Я. Начертательная геометрия.-- М.: Высшая школа, 1965. ГЛАВА II ТОЧКА И ПРЯМАЯ ╖ 4. ТОЧКА В СИСТЕМЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ 1,2 Выше (╖ 2) было сказано, что проекция точки не определяет положения точки в пространстве, и чтобы, имея проекцию точки, установить это положение, требуются дополнительные условия. Например, дана прямоугольная проекция точки на горизонтальной плоскости проекций и указано удаление этой точки от плоскости числовой отметкой; плоскость проекций принимается за "плоскость нулевого уровня", и числовая отметка считается положительной, если точка в пространстве выше плоскости нулевого уровня, и отрицательной, если точка ниже этой плоскости. На этом основан метод проекций с числовыми отметками 1). В дальнейшем изложении определение положения точек в пространстве будет производиться по их прямоугольным проекциям на двух и более плоскостях проекций. На рис. 9 изображены две взаимно перпендикулярные плоскости. Примем их за плоскости проекций. Одна из них, обозначенная буквой 1, расположена горизонтально; другая, обозначенная буквой 2,-- вертикально. Эту плоскость называют фронтальной плоскостью проекций, пл. 1 называют горизонтальной плоскостью проекций. Плоскости проекций  и 2 образуют систему 1 ,2. Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций. Ось проекций разделяет каждую из плоскостей 1 и 2 на полуплоскости. Для этой оси будем применять обозначение  или обозначение в виде дроби 2/1. Из четырех двугранных углов, образованных плоскостями проекций, считается первым тот, грани которого на рис. 9 имеют обозначения 1 и 2. На рис. 10 показано построение проекций некоторой точки А в системе 1, 2. Проведя из А перпендикуляры к  и 2, получаем проекции точки А: горизонтальную, обозначенную А', и фронтальную, обозначенную А". Проецирующие прямые, соответственно перпендикулярные к 1 и 2, определяют плоскость, перпендикулярную к плоскостям и к оси проекций. Эта плоскость в пересечении с  и 2 образует две взаимно перпендикулярные прямые А'АХ и А"АХ, пересекающиеся в точке Ах на оси проекций. Следовательно, проекции неко- 0x01 graphic 0x01 graphic рис.9 рис.10 1) Метод проекций с числовыми отметками в программу излагаемого курса не входит. Интересующихся отсылаем к книгам по начфтательной геометрии для строительных и архитектурных специальностей. 15 торой точки получаются расположенными на прямых, перпендикулярных к оси проекций и пересекающих эту ось в одной и той же точке. Если даны проекции А' и А" некоторой точки А (рис. 11), то, проведя перпендикуляры -- через А' к пл. 1 и через А" к пл. 2 -- получим в пересечении этих перпендикуляров определенную точку. Итак, две проекции точки вполне определяют ее положение в пространстве относительно данной системы плоскостей проекций. 0x01 graphic 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 11 Рис. 12 Повернув пл.  вокруг оси проекций на угол 90╟ (как это показано на рис. 12), получим одну плоскость -- плоскость чертежа; проекции А" и А' расположатся на одном перпендикуляре к оси проекций (рис. 13) -- на линии связи. В результате указанного совмещения плоскостей , и 2 получается чертеж, известный под названием эпюр1) (эпюр Монжа). Это чертеж в системе 1,2 (или в системе двух прямоугольных проекций). Перейдя к эпюру, мы утратили пространственную картину расположения плоскостей проекций и точки. Но, как увидим дальше, эпюр обеспечивает точность и удобоизмеримость изображений при значительной простоте построений. Чтобы представить по нему пространственную картину, требуется работа воображения: например, по рис. 13 надо представить картину, изображенную на рис. 10. Так как при наличии оси проекций положение точки А относительно плоскостей проекций 1и 2 установлено, то отрезок А'АХ выражает расстояние точки А от плоскости проекций 2, а отрезок А "Ах -- расстояние точки А от плоскости проекций 1. Так же можно определить расстояние точки А от оси проекций. Оно выражается гипотенузой треугольника, построенного по катетам А'АХ и А"А* (рис. 14): откладывая на эпюре отрезок А"А, равный А'АХ, перпендикулярно к А"АХ, получаем гипотенузу ААХ, выражающую искомое расстояние. Следует обратить внимание на необходимость проведения линии связи между проекциями точки: только при наличии этой линии, взаимосвязывающей проекции, получается возможность установить положение определяемой ими точки. 0x01 graphic Рис. 14 Условимся в дальнейшем эпюр Монжа, а также проекционные чертежи, в основе которых лежит метод Монжа (см. ╖ 3), называть одним словом -- чертеж: и понимать это только в указанном смысле. В других случаях применения слова "чертеж" оно будет сопровождаться соответствующим определением (перспективный чертеж, аксонометрический чертеж и т. п.). 1) ╗риге (франц.) -- чертеж, проект. Иногда вместо "эпюр" пишут и произносят "эпюра", что соответствует не произношению слова epure, а женскому роду этого слова во французском языке. 16 ╖ 5. ТОЧКА В СИСТЕМЕ ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ 1, 2, 3 В ряде построений и при решении задач оказывается необходимым вводить в систему 1; 2 и другие плоскости проекций. Известно, что в практике составления чертежей, например машин и их частей, чертеж преимущественно содержит не два, а большее число изображений. Рассмотрим введение в систему ^ 2 еще одной плоскости проекций (рис. 15): обозначенная буквой 3 плоскость перпендикулярна и к 1 и к 2. Ее называют профильной плоскостью проекций. Так же, как и пл. 2, пл. 3 расположена вертикально. Помимо оси проекций х, появляются еще оси z и у, перпендикулярные к оси х. Буквой О обозначена точка пересечения всех трех осей проекций. Так как ось х% 3, ось y% 2, ось z% 3 то в точке О совпадают проекции оси х на пл. 3, оси у на пл. 2 и оси z на пл. . На рис. 15 показана схема совмещения плоскостей 1, 2 и 3 в одну плоскость. Для оси у дано два положения (рис. 17). Наглядное изображение на рис. 16 и чертеж на рис. 18 содержат горизонтальную, фронтальную и профильную проекции некоторой точки A. 0x01 graphic 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 15 Рис. 16 Рис.17 0x01 graphic 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 18 Рис. 19 Рис. 20 Горизонтальная и фронтальная проекции (А1 и А") расположены на одном перпендикуляре к оси х- на линии связи А"А', фронтальная и профильная проекции (А" и А") -- на одном перпендикуляре к оси z - на линии связи А"А". Построение профильной проекции по фронтальной и горизонтальной показано на рис. 17. Можно воспользоваться или дутой окружности, проводимой из точки О, или биссектрисой угла уОу. Расстояние точки А от пл.  измеряется на чертеже отрезком А"АХ или отрезком А'"Ау, расстояние от 2 -- отрезком А'АХ или отрезком А'"Аг, расстояние от 3 -- отрезком А'Ау или отрезком А"Аг. Поэтому проекцию А'" можно построить и так, как показано на рис. 18, т. е. откладывая на линии связи проекций А" и А" от оси z вправо отрезок, равный А'АХ. Такое построение предпочтительно. Расстояние от точки А до оси х (рис. 19) измеряется в пространстве отрезком ААХ. Но отрезок ААХ равен отрезку A'"O (см. с. 12, пункт 8). Поэтому для определения расстояния от точки А до оси х на чертеже (рис. 20) надо взять отрезок 1Х. 17 Аналогично, расстояние от точки А до оси у выражается отрезком 1у и расстояние от точки А до оси z -- отрезком /z (рис. 20). Итак, расстояния точки от плоскостей проекций и от осей проекций могут быть измерены непосредственно, как определенные отрезки на чертеже. При этом должен быть учтен его масштаб. Рассмотрим примеры построения третьей проекции точки по двум заданным. Пусть (рис. 21) точка В задана ее фронтальной и горизонтальной проекциями. Введя ось z (рис. 22: 0x01 graphic 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 21 Рис. 22 Рис. 23 расстояние ОВХ произвольно, если нет каких-либо условий) и проведя через В" линию связи, перпендикулярную к оси , откладываем на ней вправо от этой оси отрезок B'"B-, равный В'ВХ. На рис. 23 построена проекция С' по заданным проекциям С" и С'" (ход построения указан стрелками). ВОПРОСЫ К ╖╖ 4-5 1. Что такое "система ╥, 2" и как называются плоскости проекций  и .,? 2. Что называется осью проекций? 3. Как получается чертеж точки в системе ,, ..? 4. Что такое "система ╥, .%, Яэ" и как называется плоскость проекций ,? 5. Что такое "линия связи"? 6. Как доказывается, что чертеж, содержащий две связанные между собой проекции в виде точек, выражает некоторую точку? 7. Как строится профильная проекция точки по ее фронтальной и горизонтальной проекциям? ╖ 6. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ И СИСТЕМА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ Модель положения точки в системе л1г 2, 3 (рис. 16) аналогична модели, которую можно построить, зная прямоугольные координаты 1) этой точки, т. е. числа, выражающие ее расстояния от трех взаимно перпендикулярных плоскостей -- плоскостей координат. Прямые, по которым пересекаются плоскости координат, называются осями координат. Точка пересечения осей координат называется началом координат и обозначается буквой О 2). Для осей координат будем применять обозначения, показанные на рис. 16. Плоскости координат в своем пересечении образуют восемь трехгранных углов, деля пространство на восемь частей -- восемь октантов 3). На рис. 16 изображен один из октантов. Показано образование отрезков, определяющих координаты некоторой точки А: из точки А проведены перпендикуляры к каждой из плоскостей 1) Иначе -- "декартовы координаты". Система координат Декарта может быть прямоугольной и косоугольной; здесь рассматривается прямоугольная система. Декарт (1596--1650) - французский математик и философ. 2) Начальная буква латинского слова "origo" -- начало. 3) Octo (лат.) -- восемь. 18 координат. Первая координата точки А, называемая ее абсциссой 1), выразится числом, полученным от сравнения отрезка АА"' (или равного ему отрезка ОАХ на оси х) с некоторым отрезком, принятым за единицу масштаба. Также отрезок АА" (или равный ему отрезок ОАу на оси у) определит .вторую координату точки А, называемую ординатой 2); отрезок АА' (или равный ему отрезок OAZ на оси ) - третью координату, называемую аппликатой 3). При буквенном обозначении координат абсцисса указывается буквой х, ордината -- буквой у, аппликата -- буквой z. Построенный на рис. 16 параллелепипед называют параллелепипедом координат данной точки А. Построение точки по заданным ее координатам сводится к построению трех ребер параллелепипеда координат, составляющих трехзвенную ломаную линию (рис. 24). Надо отложить последовательно отрезки ОАХ, АХА' и А'А или ОАУ, АуА'" и А'"А и т. п., т. е. точку А можно получить шестью комбинациями, в каждой из которых должны быть все три координаты. На рис. 24 для наглядного изображения взята известная из курса черчения средней школы проекция, называемая кабинетной 4). В ней оси х и z взаимно перпендикулярны, а ось у является продолжением биссектрисы угла z. В кабинетной проекции отрезки, откладываемые по оси у или параллельно ей, сокращаются вдвое. 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 25 Рис. 16 показывает, что построение проекций точки сопровождается построением отрезков, определяющих координаты этой точки, если принять плоскости проекций за плоскости координат. Каждая из проекций точки А определяется двумя координатами этой точки; например, положение проекции А' определяется координатами х и у. Положим, дана точка А (7; 3; 5); эта запись означает, что точка А определяется координатами х = 7, у= 3, z = 5. Если масштаб для построения чертежа задан или выбран, то (рис. 25) откладывают на оси х от некоторой точки О отрезок ОАХ, равный 7 единицам, и на перпендикуляре к этой оси, проведенном из точки Ах, отрезки АХА' = 3 ед. и АХА" = 5 ед. Получаем проекции А' и А". Для построения достаточно взять только ось х. Принимая оси проекций за оси координат, можно найти координаты точки по данным ее проекциям. Например, на рис. 18 отрезок ОАХ выражает абсциссу точки А, отрезок АХА' -- ее ординату, отрезок АХА" - аппликату. Если задается лишь абсцисса, то этому соответствует плоскость, параллельная плоскости, определяемой осями у и z. Действительно, такая плоскость является геометрическим местом точек, у которых абсциссы равны заданной величине (рис. 26, плоскость а). ') Abscissa (лат.) - отсеченная, отделенная. 2) Ordinata (лат.) -- от ordinatim ducta (лат.) -- подряд проведенная. 3) Applicata (лат.) -- приложенная. *) Кабинетная проекция относится к числу косоугольных (подробнее см. в ╖ 75). 19 Если задаются две координаты, то этим определяется прямая, параллельная соответствующей координатной оси. Например, имея заданными абсциссу и ординату, получаем прямую, параллельную оси z (на рис. 26 это прямая АВ). Она является линией пересечения двух плоскостей  и , где  -- геометрическое место точек с равными ординатами. Прямая АВ служит геометрическим местом точек, у которых равны между собой абсциссы и равны между собой ординаты. 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 26 Если задаются все три координаты, то этим определяется точка. На рис. 26 показана точка К, полученная в пересечении трех плоскостей, из которых  есть геометрическое место точек по заданной абсциссе,  -- по заданной ординате и  -- по заданной аппликате. Точка может находиться в любом из восьми октантов (нумерацию октантов см. на рис. 27). Следовательно, нужно знать не только расстояние данной точки от той или иной плоскости координат, но и направление, по которому надо это расстояние отложить; для этого координаты точек выражают относительными числами. Мы будем применять для отсчета координат систему знаков, указанную на рис. 27, т. е. будем применять систему координат, называемую "правой". Правая система характеризуется тем, что поворот на 90╟ "положительного" луча Ох (рис. 27) в сторону "положительного" луча Оу происходит против часовой стрелки (при условии, что мы смотрим на плоскость хОу сверху). В системе, называемой "левой", "положительный" луч Ох направлен от точки О вправо. При изображении тел обычно принимают в качестве плоскостей координат не плоскости проекций, а систему некоторых трех взаимно перпендикулярных плоскостей, непосредственно связанных с данным телом, например грани прямоугольного параллелепипеда, две грани и плоскость симметрии и т. п. Для такой системы координат встречается название "внутренняя". ╖ 7. ТОЧКА В ЧЕТВЕРТЯХ И ОКТАНТАХ ПРОСТРАНСТВА В ╖ 4 было сказано, что плоскости 1 и 2 при пересечении образуют четыре двугранных утла; их называют квадрантами или четвертями пространства. На рис. 28 указан принятый порядок отсчета четвертей. Ось проекций делит каждую из плоскостей 1 и 2 на "полы" (полуплоскости), условно обозначенные 1 и -- 1, 2 и -- 2. Если, например, точка расположена во второй четверти, то горизонтальная проекция получается на -- 1, а фронтальная -- на 2. В дальнейшем изложении за основу для построения чертежа точки в любой из четырех четвертей мы будем брать рисунок по типу 13 (см. с. 16). Считают, что зритель всегда находится в первой четверти (условно -- на бесконечно большом расстоянии от 1 и от 2). Плоскости проекций считают непрозрачными; поэтому видимы только точки, расположенные в первой четверти, а также на полуплоскостях  и 2. 20 На рис. 13 дан чертеж для случая, когда точка расположена в первой четверти (рис. 29). Если точка одинаково удалена от  и 2, то А'АХ = А"АХ. На рис. 30 показана точка В, расположенная во второй четверти, т. е. над -- % и сзади 2 (рис. 29). Точка В ближе к 2, чем к -- ,: на чертеже В'ВХ < В"ВЖ. Там же 0x01 graphic 0x01 graphic 0x01 graphic III Рис. 28 Рис. 29 показана точка С, одинаково удаленная от -! и от 2: проекции С" и С' совпадают между собой. На рис. 31 дан чертеж для случая, когда точка D расположена в третьей четверти. Горизонтальная проекция получается над осью проекций, фронтальная проекция -- под осью проекций. Так как D'DX > D"DX, то точка D расположена от --2 дальше, чем от --. На рис. 32 даны точки  и F, расположенные в четвертой четверти. Точка Е ближе к ,, чем к -- 2 (рис. 29): Е"ЕХ < Е'ЕХ. Точка F одинаково удалена от -- 2 и от ..: F'FX = F"FX. На рис. 33 в системе ,, 2 изображены точки А и В, расположенные симметрично относительно пл. ,. На чертеже (рис. 33, справа) горизонтальные проекции 0x01 graphic 0x01 graphic 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 31 Рис. 33 таких точек совпадают одна с другой, фронтальные же проекции находятся на равных расстояниях от оси проекций: А"АХ = В"ВХ. В практике черчения имеет место применение первой и третьей четвертей пространства. Подробнее см. в ╖ 41. На рис. 27 было показано, что плоскости координат в своем пересечении образуют восемь трехгранных углов -- восемь октантов. Нумерация октантов указана на рис.27. Как видно из рис.28, четверти нумеруются как I--IV октанты. 21 Применяя для отсчета координат точки систему знаков, указанную на рис. 27, получим следующую таблицу:
Знаки координат Знаки координат
 У   У z
I + + + V + +
 + _ + VI -- -- +
III + _ _ VII _ _ _
IV + + - VIII - + -
Например, точка (--20; + 15; --18) находится в восьмом октанте. Совмещение плоскостей производится согласно рис. 34, т. е. пл. 3 отводится против часовой стрелки, если смотреть на пл. ! по направлению от +z к О. 0x01 graphic Рис. 34 На рис. 34 даны также чертежи точек: А, расположенной в первом октанте, и С, расположенной в седьмом октанте; проекции одной и той же точки не могут наложиться одна на другую. Для остальных октантов две или все три (для второго и восьмого октантов) проекции одной и той же точки могут оказаться наложенными друг на друга. ВОПРОСЫ К ╖╖ 6-7 1. Что такое прямоугольные декартовы координаты точки? 2. В какой последовательности записываются координаты в обозначении точки? 3. Что такое квадранты или четверти пространства? 4. Что такое октанты? 5. Какие знаки имеют координаты точки, расположенной в седьмом октанте? 6. В чем различие между "правой" и "левой" системами координат? Чем различаются между собой чертежи точек, из которых одна расположена в первой четверти, а другая -- в третьей? ╖ 8. ОБРАЗОВАНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ До сих пор мы встречались с двумя системами плоскостей проекций -- п1г 2 и ╥, -, 3. В случае необходимости можно образовать и другие системы. Например, введя в систему ^ - некоторую пл. 41 (рис.35), мы получим, помимо системы -, 2 с проекциями А' и А" точки А, еще систему ,, 4 с проекциями А и  той же точки А. Образуется ли при этом также система 2, 4? Нет: плоскости 2 и 4 не перпендикулярны одна к другой. 22 Пл. 1 входит в обе системы 1, 2 и 1, 4. Поэтому проекция А' точки А (рис. 35) относится и к системе 5 4. При проецировании же точки А на пл. 4 получаем точку  на расстоянии  от пл. 1; равном AA' и А"АХ. 0x01 graphic 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 35 Рис. 36 Рис. 37 На рис. 36 плоскости 1; 2 и 4 показаны совмещенными в одну плоскость --плоскость чертежа; полученный при этом чертеж дан на рис. 37. Помимо оси 2/ 1) введена еще ось 4/1; она выбирается согласно условиям, вытекающим из задания, как это будет показано дальше. Из точки А' проведена перпендикулярно к оси 4/1 линия связи, на которой отложен отрезок , равный отрезку А"АХ, т. е. расстоянию в пространстве от точки А до пл. 1. 0x01 graphic 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 38 Рис. 40 На рис. 38 показан чертеж, в котором помимо системы 5 2 дана еще система 2, 5, т. е. в систему Пц, 2 введена дополнительная пл. 5, перпендикулярная к 2. Теперь в обеих системах (пь 2 и 2, 5) содержится пл. 2. Поэтому сохраняется расстояние точки А именно от пл. 2 и на чертеже отрезок AvAxl должен быть взят равным отрезку А'АХ. Очевидно, плоскость 3 (рис. 15) можно истолковать как дополнительную, проведенную перпендикулярно и к 2, и к nt. Но при этом обычно помимо системы 1; 2 рассматривают еще систему 2, 3. По аналогии с рис. 38 можно было бы придать рис. 22 форму, показанную на рис. 39 слева, где "' = = В'ВХ. Если же использовать вспомогательную прямую по рис. 17 (продолженную биссектрису угла ), то построение принимает вид, указанный на рис. 39 справа. Можно ли по-ступ"ть аналогично при построении, например, проекции  (рис. 37) или  (рис. 38)? Да; это показано на рис. 40 и 41. Но здесь, конечно, угол 45╟, построен- 0x01 graphic Рис. 41 1) Это обозначение оси соответствует ранее принятому -- х. При введении новой оси, например 4/1, ее обозначение - xt. 23 ный на рис. 17, не получается. Как видно из чертежей на рис. 40 и 41, надо провести биссектрису угла, образуемого осями 2/ и K4/nt (рис. 40) и осями 2/ и -/5 (рис. 41). Но, как было сказано на с. 23, предпочтительными являются построения, показанные на рис. 39 слева и на рис. 37 и 38. В дальнейшем (╖ 33) мы встретимся еще с другими примерами введения дополнительных плоскостей для образования требуемой системы плоскостей проекций. ╖ 9. ЧЕРТЕЖИ БЕЗ УКАЗАНИЯ ОСЕЙ ПРОЕКЦИЙ В дальнейшем изложении наряду с чертежами, содержащими оси проекций, будут применяться чертежи без указания осей. Из сравнения чертежей на рис. 42 следует, что в одном случае положение плоскостей 1 и 2 установлено проведением линии их пересечения и что установлены расстояния точки А от этих плоскостей. На втором же чертеже на рис. 42 вопрос о расстояниях точки А от плоскостей , и 2 отпадает, так как ось проекций отсутствует; рассматривается некоторая точка А, заданная своими проекциями, безотносительно к тому, где находятся плоскости проекций. При этом, конечно, тем большее значение приобретает линия связи проекций, ее направление и правильное проведение. Можно ли, имея чертеж без указания оси проекций, ввести эту ось и тем задать расстояния точки от условно выбранных плоскостей 1 и 2? Да, можно. Вводя ось, надо ее провести обязательно перпендикулярно к линии связи, но безразлично, 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 43 в какой именно точке на этой линии (если не указывается какое-либо условие). При этом положение проекций не изменится. Действительно, проведя ось проекций, мы выбираем некоторое положение двугранного угла ,2 относительно данной точки А (рис. 43). Перенесение оси на чертеже вверх или вниз соответствует параллельному перемещению в пространстве двугранного угла 2 в новое положение (на рис. 43 положение 45) в направлении биссекторной плоскости двугранного угла1), смежного с углом 12. Введение оси проекций (а это делается обычно в соответствии с каким-либо условием) было показано на рис. 37 и 38: оси п3/ 1 и 2/5. Здесь оси были нужны для построения: от них отсчитывались размеры. Вообще, оси, если их рассматривать в первоначальном значении линий пересечения плоскостей проекций, помогают представлению пространственной картины по чертежу. Базы отсчета размеров являются неотъемлемой составляющей технических чертежей; выбор положения баз не является ограниченным и определяется, исходя из необходимости и целесообразности. 1) Биссекторная плоскость двугранного угла -- плоскость, проходящая через ребро двугранного угла и делящая его пополам. Bissektor (лат.) -- надвое рассекающий. 24 На рис. 44 слева показано, как устанавливается разность расстояний точек А и В от плоскостей проекций пь 2 и 3. Чертеж на рис. 44 справа дан с осями проекций. 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 44 В данном примере разность расстояний точек от пл.  определяется отрезком А"1, равным А"АХ -- В"ВХ или А'"3, от пл. 2 -- отрезком В'2, равным В'ВХ -- А'АХ или В'"3, от пл. 3 -- отрезком В"1, равным А"Аг -- В"В2 или А'2. ВОПРОСЫ К ╖╖ 8-9 1. Как образуются системы плоскостей проекций? 2. Какому условию должна отвечать плоскость, вводимая в систему ,, ., в качестве дополнительной плоскости проекций? 3. Как строится проекция точки, заданной в системе ╥, 2 на m. it.,, перпендикулярнойк пл. ╥? 4. Устанавливаются ли расстояния точки от плоскостей проекций при наличии оси проекций? 5. Как следует понимать чертеж точки при отсутствии оси проекций? 6. Какое назначение имеют оси /, и -/5; на рис. 40 и 41? 7. Как устанавливается на чертеже в системе ,, 2 расстояние точки от пл. , и от пл. 2? ╖ 10. ПРОЕКЦИИ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ ЛИНИИ Положим, что даны фронтальные и горизонтальные проекции точек А и В (рис. 45). Проведя через одноименные проекции этих точек прямые линии, мы получаем проекции отрезка АВ -- фронтальную (А"В") и горизонтальную (А'В1)'). Можно ли утверждать, что такой чертеж (рис. 45) выражает именно отрезок прямой линии? Да; если представить себе (рис. 46), что через А'В' и через А"В" проведены проецирующие плоскости (т. е. перпендикулярные соответственно к 1 и к 2), то в пересечении этих плоскостей получается прямая и ее отрезок АВ. При этом точка, заданная своими проекциями на А'В' и на А"В", принадлежит отрезку АВ. На рис. 47 дан чертеж отрезка АВ в системе 1, 2, 3╥ Проекции А'" и В'" построены так, как это было показано на рис. 18 для одной точки А. Точки А и В находятся на разных расстояниях от каждой из плоскостей ╥,, 2 и 3, т. е. прямая АВ не параллельна ни одной из них. При этом ни одна из проекций прямой не параллельна оси проекций и не перпендикулярна к ней. Такая прямая называется прямой общего положения. 25 0x01 graphic 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 45 Рис. 46 Рис. 47 Каждая из проекций меньше самого отрезка: А'В' < АВ, А"В" < АВ, А'"В'" < < АВ. Обозначая углы между прямой и плоскостями 1; 2 и 3 соответственно через 1,  2 и 3, получим А'В' = ABcos  1, А" В" = АВ cos 2, А'" В'" = ABcos 3. Если А'В' = А"В" = А"'В'", то прямая образует с плоскостями проекций равные между собой углы (~ 35╟)1); при этом каждая из проекций прямой расположена под углом 45╟ к соответствующим осям проек-ций или линиям связи между проекциями. Действительно, если (рис. 48) А'В" = А'В' и А'В' = А'"В'", то фигура А"В"В'А' - равнобочная трапеция и В"1 = В'2, откуда В"'3 = А'"3, т. е. угол А'"В"'3 = 45╟, а так как фигура А"В"В'"А"' - параллелограмм, то каждый из углов В"А"1 и В'А'2 равен 45╟. Как построить на чертеже без осей проекций, например, профильную проекцию отрезка прямой линии? Построение показано на рис. 49, где слева дан исходный чертеж отрезка АВ прямой общего положения, в середине показано применение вспомогательной прямой, проведенной под углом 45╟╥ к направлению линии связи В"В', а справа -- построение в разности расстояний точек А и В от пл. 2, т. е. по отрезку : задавшись положением хотя бы проекции А'" (на линии связи А"А'"), откладываем А'"2 =  и, проведя из точки 2 перпендикуляр до пересечения с линией связи проекций В" и В'", находим положение проекции В'". 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 49 1) Вывод см. в ╖ 13. 26 ╖ 11. ОСОБЫЕ (ЧАСТНЫЕ) ПОЛОЖЕНИЯ ПРЯМОЙ ЛИНИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ Прямая линия может занимать относительно плоскостей проекций особые (иначе, частные) положения. Рассмотрим их по следующим двум признакам: А. Прямая параллельна одной плоскости проекций. Б. Прямая параллельна двум плоскостям проекций. В первом случае одна проекция отрезка прямой равна самому отрезку. Во втором случае две проекции отрезка равны ему1). А. Прямая параллельна одной плоскости проекций 1. Прямая параллельна пл. , (рис. 50). В таком случае фронтальная проекция прямой параллельна оси проекций и горизонтальная проекция отрезка этой прямой равна самому отрезку: А'В'=АВ. Такая прямая называется горизонтальной. Если, например, проекция А"В" совпадает с осью проекций, то отрезок АВ расположен в пл. , 2). 0x01 graphic 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 50 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 51 2. Прямая параллельна пл. 2 (рис. 51). В таком случае ее горизонтальная проекция параллельна оси проекций и фронтальная проекция отрезка этой прямой равна самому отрезку: C"D" = CD. Такая прямая называется фронтальной. Если, например, проекция C'D' совпадает с осью проекций, то это соответствует положению отрезка CD в самой пл. 2. ') Все это, конечно, с учетом масштаба чертежа. 2) На рис. 50 справа дан чертеж без указания оси проекций. То же сделано на рис. 51. 27 3. Прямая параллельна пл. 3 (рис. 52). В таком случае горизонтальная и фронтальная проекции прямой располагаются на одном перпендикуляре к оси проекций Ох и профильная проекция этой прямой равна самому отрезку: E"F" = EF. Такая прямая называется профильной. 0x01 graphic 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 52 Рис. 53 Можно ли считать, что на чертежах, подобных указанным на рис. 50 и 51, изображены отрезки именно прямых линий? Да; доказательство такое же, как для прямой общего положения (рис. 46). Если же на чертеже в системе 5 2 обе проекции перпендикулярны к оси проекций, то проецирующие плоскости, проведенные через E'F и E"F", сливаются в одну и оригиналом может быть не только прямая линия, но и некоторая плоская кривая (рис. 53). Б. Прямая параллельна двум плоскостям проекций 1. Прямая параллельна плоскостям 1 и 2 (рис. 54), т. е. перпендикулярна к пл. 3. Проекция на пл. 3 представит собой точку. 2. Прямая параллельна плоскостям , и 3 (рис. 55), т. е. перпендикулярна к пл. 2. Проекция на пл. 3 представляет собой отрезок прямой, равный CD'. 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 54 Рис. 55 Рис. 56 Рис. 57 3. Прямая параллельна плоскостям 2 и 3 (рис. 56), т. е. перпендикулярна к пл. nt. Проекция на пл. 3 представит собой отрезок, параллельный и равный E"F". На рис. 57 дано наглядное изображение положения рассмотренных прямых'). ') Для этих прямых встречается название "проецирующие прямые". 28 0x01 graphic Рис. 58 Рис. 59 Обычно строятся проекции отрезков прямой линии с указанием концевых точек отрезка. Если же по каким-либо причинам показывают некоторую неопределенную часть прямой линии, то практически тоже показывают отрезок линии, но не обозначают концевых точек этого отрезка. При этом можно пользоваться обозначением каждой проекции только одной буквой, относя ее к какой-либо точке прямой (рис. 58): "прямая, проходящая через точку А". Обратим внимание на чертеж слева на рис. 59. Относительно прямой, изображенной на нем, можно сказать лишь то, что она проходит через точку L и параллельна пл. jtj, но в остальном положение этой прямой не определяется. Определенность была бы внесена горизонтальной проекцией, т. е. проекцией на плоскости, по отношению к которой прямая параллельна. Если же мы имеем дело с прямой, заданной двумя своими точками (например, с отрезком прямой, заданным своими концами), то можно точно определить положение этой прямой и в том случае, если не задана ее проекция на плоскости, параллельной этой прямой. Так, например, если дан отрезок АВ прямой (рис. 59, справа), то мы можем установить не только параллельность этой прямой по отношению к пл. -, но и то, что точка A данной прямой более удалена от пл. 2, чем точка В. ╖ 12. ТОЧКА НА ПРЯМОЙ. СЛЕДЫ ПРЯМОЙ На рис. 60 дан чертеж некоторой прямой общего положения, проходящей через точку А. Если известно, что точка В принадлежит этой прямой и что горизонтальная проекция точки В находится в точке В', то фронтальная проекция В" определяется так, как показано на рис. 60. На рис. 61 показано построение точки на профильной прямой. Положим, что задана проекция С" этой точки; надо найти ее горизонтальную проекцию. Построение выполнено при помощи профильной проекции А'"В"' отрезка АВ, взятого на профильной прямой. Ход построения показан стрелками. Сначала определена проекция С", а по ней -- искомая проекция С". Одним из свойств параллельного проецирования является то, что отношение АС А╟С╟ отрезков прямой линии равно отношению их проекций (рис. 62): 0x01 graphic 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 61 Рис. 62 29 как прямые АА╟, СС╟ и ВВ╟ параллельны между собой. Аналогично, отношение отрезков на проекции прямой линии равно отношению отрезков на этой прямой. Если бы точка делила пополам отрезок прямой, то проекция этой точки также делила бы проекцию отрезка пополам, и наоборот. Из сказанного следует, что на рис. 61 деление проекций А"В" и А'В' точками С" и С' соответствует делению в пространстве отрезка АВ точкой С в том же отношении. Этим можно воспользоваться для более простого построения точки на профильной прямой. Если (как и на рис. 61) на проекции А"В" (рис. 63) задана проекция С", то, очевидно, надо разделить А'В' в том же отношении, в каком точка С" делит проекцию А"В". Проведя из точки А' некоторую вспомогательную прямую, откладываем на ней  = А"С" и 1 -2 = С"В". Проводим прямую В'2 и параллельно ей через точку 1 прямую до пересечения с А'В' в точке С'. Эта точка представляет собой искомую горизонтальную проекцию точки С, принадлежащей отрезку АВ. 0x01 graphic 0x01 graphic 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 63 Рис. 64 Рис. 65 Рис. 66 На рис. 64 дан пример деления отрезка прямой линии в некотором заданном отношении. Отрезок CD разделен в отношении 2:5. Из точки С' проведена вспомогательная прямая, на которой отложено семь (2 + 5) отрезков произвольной длины, но равных между собой. Проведя отрезок D'7 и параллельно ему через точку 2 прямую, получаем точку К', причем С'К': K'D' = 2:5; затем находим К". Точка К делит отрезок CD в отношении 2 :5. На рис. 65 показаны точки  и , в которых прямая, заданная отрезком АВ, пересекает плоскости проекций. Эти точки называются следами: точка  -- горизонтальный след прямой, точка N -- ее фронтальный след. Горизонтальная проекция горизонтального следа (точка М') совпадает с самим следом, а фронтальная проекция этого следа М" лежит на оси проекций. Фронтальная проекция фронтального следа " совпадает с точкой , а горизонтальная проекция ' ' лежит на той же оси проекций. Следовательно, чтобы найти горизонтальный след, надо (рис. 66) продолжить фронтальную проекцию А"В" до пересечения с осью 2/ и через точку М" (фронтальную проекцию горизонтального следа) провести перпендикуляр к оси 2/1 до пересечения с продолжением горизонтальной проекции А'В'. Точка М' -- горизонтальная проекция горизонтального следа; она совпадает с самим следом (= знак совпадения). Для нахождения фронтального следа продолжаем горизонтальную проекцию А'В' до пересечения с 2/1; через точку ' (горизонтальную проекцию фронтального 30 следа) проводим перпендикуляр до пересечения с продолжением фронтальной проекции А"В". Точка N" -- фронтальная проекция фронтального следа; она совпадает с самим следом. По положению точек  и N можно судить, к каким четвертям пространства отнесена данная прямая. На рис. 65 прямая АВ проходит через IV, I и II четверти. Прямая не имеет следа на плоскости проекций  том случае, когда она параллельна этой плоскости. На рис. 67 прямая пересекает не только пл. 1 и 2, но и пл. 3. Точка  -- профильный след прямой, т. е. след на профильной плоскости проекций. Этот след совпадает с его собственной проекцией на пл. 3, а фронтальная и горизонтальная проекции его лежат соответственно на осях z и у. 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 67 В данном случае прямая проходит за точкой  через пятый октант и, встречая далее пл. 2, уходит в шестой октант; прямая из первого октанта выходит в четвертый октант '). Соответствующий чертеж дан на рис. 67 справа. Прямая показана в первом октанте -- проекции М'Р', М"Р" и М'"Р'" и в пятом октанте -- проекции '', "" и "'"'. 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 68 Если плоскости проекций принять за плоскости координат, то у горизонтального следа прямой координата z = 0, у фронтального следа у = 0, у профильного следа  -- 0. Построение следов профильной прямой (рис. 68) может быть выполнено следующим способом (рис. 68, справа). ') Условимся показывать на чертежах сплошными линиями те проекции, которые соответствуют положению отрезка в первой четверти или в первом октанте. 31 Строим профильную проекцию (A'"B'"), определяем положение профильных проекций горизонтального следа (М'") и фронтального следа (N'") и затем находим положение остальных проекций этих следов (последовательность построения на чертеже показана стрелками). ВОПРОСЫ К ╖╖ 10-12 1. При каком положении относительно плоскостей проекций прямая называется прямой общего положения? 2. Как доказывается, что чертеж, содержащий две связанные между собой проекции в виде отрезков прямой линии, выражает именно отрезок прямой линии? 3. Как выражается соотношение между проекцией отрезка прямой и самим отрезком? 4. Как расположена прямая в системе 1, 2, 3, если все три проекции отрезка этой прямой равны между собой? 5. Как построить профильную проекцию отрезка прямой общего положения по данным фронтальной и горизонтальной проекциям? 6. Как выполнить построение по вопросу 5 на чертеже без осей проекций? 7. Какие положения прямой линии в системе .-..,., 3 считаются "особыми" (иначе -- "частными")? 8. Как располагается фронтальная проекция отрезка прямой линии, если его горизонтальная проекция равна самому отрезку? 9. Как располагается горизонтальная проекция отрезка прямой линии, если его фронтальная проекция равна самому отрезку? 10. Какое свойство параллельного проецирования касается отношения отрезков прямой линии? 11. Как разделить на чертеже отрезок прямой линии в заданном отношении? 12. Что называется следом прямой линии на плоскости проекций? 13. Какая координата равна нулю: а) для фронтального следа прямой, б) для горизонтального следа прямой? 14. Где располагается горизонтальная проекция фронтального следа прямой линии? 15. Где располагается фронтальная проекция горизонтального следа прямой линии? 16. Может ли быть случай, когда прямая линия в системе ,,╥2, 3 имеет следы на каждой из этих плоскостей, сливающиеся в одну точку? ╖ 13. ПОСТРОЕНИЕ НА ЧЕРТЕЖЕ НАТУРАЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ И УГЛОВ НАКЛОНА ПРЯМОЙ К ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ  1 и 2 Из рассмотрения левой части рис. 69 можно заключить, что отрезок АВ является гипотенузой прямоугольного треугольника АВ1, в котором один катет равен проекции отрезка (А1 = А╟В╟), а другой катет равен разности расстояний концов отрезка от плоскости проекций 0. 0x01 graphic Рис. 69 32 Если координаты, определяющие расстояния концов отрезка от плоскости проекций, имеют разные знаки (рис. 69, справа), то надо иметь в виду разность алгебраическую: В1 = ВВ╟ - (-АА0) = ВВ╟ + АА╟. Угол прямой линии с плоскостью проекций определяется как угол, составленный прямой с ее проекцией на этой плоскости. Этот _ угол входит в тот же прямоугольный треугольник, который строят для определения натуральной величины отрезка. Очевидно, зная по чертежу катеты треугольника, можно его построить в любом месте поля чертежа. На рис. 70 показано построение, примененное Г. Монжем: 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 70 Рис. 71 Рис. 72 от точки 1 отложен отрезок , равный проекции A'ff, и проведена гипотенуза А"У, выражающая натуральную величину отрезка АВ. Угол с вершиной в точке А" равен углу между АВ и пл.  1 На рис. 71 слева длина отрезка АВ и угол, составленный прямой АВ с пл. 1определены из прямоугольного треугольника, построенного на проекции А'В' при втором катете В'В*, равном В"1. АВ = А'В*. На рис. 71 справа длина отрезка и угол, составленный с пл. п2, определены из прямоугольного треугольника, построенного на проекции А"В" (А"А* = А'2). АВ = В"А*. Ограничены ли чем-либо углы . и - для прямой общего положения? Да, каждый из них может быть только острым. Но, кроме того, для прямой общего положения - + - < 90╟. Действительно (рис. 72), в прямоугольном треугольнике ""' сумма углов  + - = 90╟. Но в треугольниках ""'  ''' при общей гипотенузе "' катет "" больше катета "' и, следовательно, >1. Подставляя в  + 2=90╟ угол  вместо , получим 1+ 2<90╟. Рассмотрим (рис. 71) прямоугольные треугольники А'В'В* и A"B"A*. В каждом из них гипотенуза выражает натуральную величину отрезка, а один из катетов является проекцией этого отрезка. Другой же катет равен разности расстояний концов отрезка от соответствующей плоскости проекций (В'В* - В"1 = разности расстояний от nlt a A"A* = А'2 = разности расстояний от я2). Кроме того, в одном из этих треугольников содержится угол между отрезком и пл. 1 (угол ), в другом -- угол между отрезком и пл. 2 (угол 2). В данном случае нам были известны катеты и мы определяли гипотенузу и угол. Но может быть и такое положение: известны гипотенуза и угол, определить катеты (т. е. даны натуральная величина отрезка и углы, составляемые им с плоскостями проекций; построить проекции этого отрезка). Положим (рис. 73), что AB есть заданный отрезок (на рис. 71 он соответствует гипотенузам A'B* и B"A*). Построим на нем, как на диаметре, окружность. Приняв точку А за вершину, построим угол  (т. е. заданный угол с пл. 1) и прямоугольный треугольник А1В. Из сравнения этого треугольника с треугольником А'В'В* (рис. 71) следует, что катет А1 выражает горизонтальную проекцию отрезка AB,a катет В1 -- разность расстояний концов отрезка АВ от пл. 1. В. О. Гордон, М. А. Семенцов-Огиевсшй 33 Построим (рис. 73) также прямоугольный треугольник А2В по той же гипотенузе AB и заданному углу <рг с плоскостью проекций 2 и сравним его с треугольником В"А"А* на рис.71. Очевидно, катет В2 выражает╥ фронтальную проекцию заданного отрезка, а катет А2 -- разность расстояний концов отрезка от пл. 2. Теперь построим чертеж (рис. 74). Положим, что отрезок надо провести через точку В влево вниз на себя. Отложив на линии связи B"B' от точки В" отрезок В"1, равный В! (см. рис. 73), проведем через точку 1 прямую перпендикулярно к В"В". Засекая эту прямую из точки В" дугой, радиус которой должен равняться фронтальной проекции, т. е. отрезку В2, получим точку А". Чтобы найти горизонтальную проекцию А', можно засечь линию связи. 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 73 Рис. 74 Рис. 75 проведенную через точку А", дугой, радиус которой равен А1 (см. рис. 73). При этом должно получиться А"А' -- = А2. На рис. 74 дано лишь одно положение отрезка. Но может быть еще семь других положений при начальной точке В. Предоставляем читателю изобразить отрезок АВ и в этих положениях. На рис. 75 дан пример определения расстояния от точки А до точки О. Сначала построены проекции искомого отрезка -- А"О" и А'О' (точка О выражена ее проекциями О" и О'). Затем построен треугольник А'О'А*, один катет которого -- проекция А'О', другой -- отрезок А'А* = А"АХ. Искомое расстояние определяется гипотенузой О'А*. Теперь мы можем определить угол, составляемый прямой, равнонаклоненной к плоскостям 1, 2 и 3, с этими плоскостями. Об этом угле говорилось в ╖ 10, и была указана его величина ( ~ 35╟). Ее можно определить, если рассмотреть хотя 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 76 Рис. 77 бы рис. 76: проекции А"В" и А'В' равны между собой, и углы А"В"1 и 2А'В' равны каждый 45╟ (см. ╖ 10). 34 Искомый угол определен из прямоугольного треугольника А'В'В*, в_котором катет '*=. Если принять В"1 равным единице, то А'В' = А"В" = у 2 и угол -"35╟15'. Таковы же углы между этой прямой и плоскостями 2 и 3. Если применить то, что было сказано в ╖ 8, т. е. дополнить систему 1, 2 системой 4, 1, выбрав пл. 4% 1 и параллельно заданному на чертеже отрезку прямой линии, то, очевидно, проекция этого отрезка на пл. 4 выразит его натуральную величину и угол с пл.  1. Положим (рис.77), требуется определить натуральную величину отрезка,АВ и угол его с пл.  1. В систему  1 ,  2 введена пл. 4 %  1 так, что  4 II АВ. Возникла дополнительная система  4,  1. В ней АВ \\  4 (ось  4/  1 || А'В1); проекция  выражает натуральную величину отрезка АВ. ╖ 14. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ Параллельные прямые. К числу свойств параллельного проецирования относится следующее: проекции двух параллельных прямых параллельны между собой. Если (рис. 78) прямая АВ параллельна прямой CD, то проецирующие плоскости ос и  параллельны между собой и при пересечении этих плоскостей с плоскостью проекций 0 получаются параллельные между собой проекции А╟В╟ и C╟D╟. Однако, хотя А╟В╟ \\ C╟D╟ (рис. 78), прямые, для которых А╟В╟ и С0D0 являются проекциями, могут быть не параллельны между собой: например, прямая АВ не параллельна прямой C1D1. Из указанного свойства параллельного проецирования следует, что горизонтальные проекции параллельных прямых параллельны между собой, фронтальные проекции параллельны между собой и профильные проекции параллельны между собой. Справедливо ли обратное заключение, т. е. будут ли параллельны две прямые в пространстве, если на чертеже их одноименные проекции попарно параллельны? 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 78 Рис. 79 Рис. 80 Да, если даны параллельные между собой проекции на каждой из трех плоскостей проекций 1, 2 и 3. Но если даны параллельные между собой проекции прямых лишь на двух плоскостях проекций, то этим параллельность прямых в пространстве подтверждается всегда для прямых общего положения и может не подтвердиться для прямых, параллельных одной из плоскостей проекций. Пример дан на рис. 79. Хотя профильные прямые АВ и CD заданы проекциями А'В', А"В" и CD', C"D", между собой параллельными, но самые прямые не параллельны -- это видно из взаимного расположения их профильных проекций, построенных по заданным проекциям. Итак, вопрос был решен при помощи проекций прямых на той плоскости проекций, по отношению к которой данные! прямые параллельны. На рис. 80 показан случай, когда можно установить, что профильные прямые АВ и CD не параллельны между собой, не прибегая к построению третьей 35 проекции: достаточно обратить внимание на чередование буквенных обозначений. Если через данную точку А требуется провести прямую, параллельную данной прямой LM, то (рис. 81, слева) построение сводится к проведению через точку А" прямой, параллельной L"M", и через точку А' прямой, параллельной L'M'. 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 81 В случае, изображенном на рис. 81 справа, параллельные прямые расположены в общей для них проецирующей плоскости, перпендикулярной к пл. ,. Поэтому горизонтальные проекции этих прямых расположены на одной прямой. Пересекающиеся прямые. Если прямые линии пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой в точке, которая является проекцией точки пересечения этих прямых. Действительно (рис. 82), если точка К принадлежит обеим прямым АВ и CD, то проекция этой точки должна быть точкой пересечения проекций данных прямых. Заключение о том, что данные на чертеже прямые пересекаются между собой, можно сделать всегда по отношению к прямым общего положения, независимо от того, даны ли проекции на трех или двух плоскостях проекций. Необходимым и достаточным условием является лишь то, чтобы точки пересечения одноименных 0x01 graphic 0x01 graphic 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 82 Рис. 85 проекций находились на одном и том же перпендикуляре к соответствующей оси проекций (рис. 83) или, на чертеже без оси проекций (рис, 84), эти точки оказались бы на линии связи установленного для нее направления. Но если одна из данных прямых параллельна какой-либо из плоскостей проекций, а на чертеже не даны проекции на этой плоскости, то нельзя утверждать, что такие прямые пересекаются между собой, хотя бы и было соблюдено указанное выше условие. Например, в случае, данном на рис. 85, прямые АВ и CD, из которых прямая CD параллельна пл. 3, не пересекаются между собой; это может быть подтверждено построением профильных проекций или применением правила о делении отрезков в данном отношении. 36 Изображенные на рис. 84 пересекающиеся прямые расположены в общей для них проецирующей плоскости, перпендикулярной к пл. я-. Поэтому фронтальные проекции этих прямых расположены на одной прямой. Скрещивающиеся прямые. Скрещивающиеся прямые линии не пересекаются и не параллельны между собой. На рис. 86 изображены две скрещивающиеся прямые общего положения: хотя одноименные проекции и пересекаются между собой, но точки их пересечения не могут быть соединены линией связи, параллельной линиям связи L"L' и М"М', т. е. эти прямые не пересекаются между собой. Прямые, изображенные на рис. 79, 80 и 85, также скрещивающиеся. Как надо рассматривать точку пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых? Она представляет собой проекции двух точек, из которых одна 0x01 graphic принадлежит первой, а другая -- второй из этих скрещивающихся прямых. Например, на рис. 87 точка с проекциями К" и К' принадлежит прямой АВ, а точка с проекциями L" и L' принадлежит прямой CD. Эти точки одинаково удалены от пл. 2, но расстояния их от пл. , различны: точка с проекциями L" и L' дальше от nt, чем точка с проекциями К" и К' (рис. 88). Точки с проекциями ", ' и ", ' одинаково удалены от пл. 1, но расстояния этих точек от пл. 2 различны. Точка с проекциями L" и L', принадлежащая прямой CD, закрывает собой точку с проекциями К" и К' прямой АВ по отношению к пл. ^ соответствующее направление взгляда показано стрелкой у проекции L". По отношению к пл. 2 точка с проекциями " и ' прямой CD закрывает собой точку с проекциями М" и М' прямой АВ; направление взгляда указано стрелкой внизу, у проекции N'. Обозначения проекций "закрытых" точек помещены в скобках1). ╖ 15. О ПРОЕКЦИЯХ ПЛОСКИХ УГЛОВ 1. Если плоскость,  которой расположен некоторый угол, перпендикулярна к плоскости проекций, то он проецируется на эту плоскость проекций  виде прямой линии. 2. Если плоскость прямого угла не перпендикулярна к плоскости проекций и хотя бы одна его сторона параллельна этой плоскости, то прямой угол проецируется на нее в виде прямого же угла. Положим, что сторона СВ прямого угла АСВ (рис. 89) параллельна плоскости проекций. В таком случае прямая СВ параллельна С╟В╟. Пусть вторая сторона (АС) прямого угла пересекает свою проекцию А╟С╟ в точке К. Проводим в плоскости проекций через точку К прямую параллельно С╟В╟. Прямая KL также параллель- ') Для точек, принадлежащих скрещивающимся прямым и расположенных на одной и той же проецирующей прямой, встречается название "конкурирующие". 37 на СВ, и угол CKL получается прямым. Согласно теореме о трех перпендикулярах угол C╟KL -- также прямой1). Следовательно, и угол А╟С╟В╟ -- прямой. Этой теореме о проецировании прямого угла соответствуют две обратные (пп. 3 и 4). 3. Если проекция плоского угла представляет собой прямой угол, то проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что по крайней мере одна из сторон этого угла параллельна плоскости проекций. 4. Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна плоскости проекций, представляет собой прямой угол, то проецируемый угол тоже прямой 0x01 graphic Рис. 91 Рис. 92 На основании изложенного можно установить, что углы, изображенные на рис. 90, в пространстве прямые. В каком случае проекции прямого угла на двух плоскостях проекций представляют собой прямые утлы? Это бывает, когда одна сторона прямого угла перпендикулярна к третьей плоскости проекций (тогда другая его сторона параллельна этой плоскости). Призер дан на рис. 91: сторона АС перпендикулярна к 3, сторона ВС параллельна 3. Пользуясь сведениями о╥проецировании прямого угла, о дополнении системы я,, 2 системой 4, , (╖ 8) и о расположении проекций прямой, параллельной одной из плоскостей проекций (╖ 11), мы можем выполнить следующее построение: провести через некоторую точку А прямую так, чтобы она пересекла данную прямую под углом 90╟. Решение показано на рис. 92, где слева дано исходное положение, в середине показано образование, кроме си- ') Согласно прямой теореме о трех перпендикулярах: если KL╠C╟K, то KLJL С К. Согласно обратной теореме: если K.LLCK, то KLJ-C╟K. 2) Интересующихся доказательством обратных теорем отсылаем к предыдущим изданиям книги. 38 стемы 1, 2, еще одной системы 4, 1, причем пл. 4%ВС, а справа выполнено построение прямой AKLBC. Так как пл. 4% ВС, что обеспечивается проведением оси 4/1, параллельно B'C', то прямой угол АКВ (или АКС) проецируется на пл. 4 в виде прямого же угла AIVKIVBIV. Построив проекции точки A и прямой BC на пл. 4, проводим AIVKIV % BIV CIV, а затем получаем проекции К' и К" и проекции А'К' и А"К" (ход построения указан стрелками). Можно ли считать, что, построив перпендикуляр АК к прямой BC, мы определили расстояние от А до BC? Нет, мы только построили проекции отрезка АК; ни одна из них не определяет величинц расстояния. Если надо определить величину отрезка АК, т. е. расстояние от A до BC, то надо продолжить построение, применив хотя бы способ, изложенный в ╖ 13. . ╥ 5. Ecли плоскость тупого или острого угла не перпендикулярна к плоскости проекций и хотя бы одна сторона угла параллельна плоскости проекций, то проекция тупого угла на эту плоскость представляет собой тупой угол, а проекция острого угла -- острый угол. Предположим, что прямая СВ (рис. 93) параллельна плоскости проекций. Рассмотрим тупой угол КСВ или острый угол МСВ и проведем в плоскости этого угла прямую CL% СВ. Так как угол LCB-- прямой, то его проекция -- угол LC╟B╟ 0x01 graphic Рис. 93 Рис. 94 представляет собой также прямой угол. Этот угол заключен внутри угла КС╟В╟ и заключает внутри себя угол МС╟В╟, следовательно, угол КС╟В╟ -- тупой, а угол МС╟В╟ -- острый. Таким образом, проекция угла представляет собой угол с тем же названием (прямой, тупой или острый), что и сам угол, если хотя бы одна сторона угла параллельна плоскости проекций. Вообще же проекция любого угла может представлять собой или острый, или прямой, или тупой угол, в зависимости от положения утла относительно плоскости проекций. 6. Если обе стороны любого угла, параллельны плоскости проекций, то его проекция равна по величине проецируемому углу. Это следует из равенства углов с параллельными и одинаково направленными сторонами. Поэтому, например, угол между прямой АВ (рис. 50, с. 27) и пл. 2 легко определить: это - угол между проекцией А 'В' и осью х; таким же образом угол между CD и пл. 1 (рис. 51) определится как угол между C"D" и осью х, угол между EF (рис. 52) и пл. 2 -- как угол между E"'F'" и осью z. Для прямого угла равенство между его проекцией и самим углом имеет место и тогда, когда лишь одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций. Но для острого или тупого угла, у которого одна сторона параллельна плоскости проекций, проекция угла не может равняться проецируемому углу. При этом проекция острого угла меньше проецируемого угла, а проекция тупого больше проецируемого угла. Пусть (рис.94) угол А 1ВС -- острый и его сторона СВ параллельна пл. 0; С╟В╟ || СВ. Пл. , проведенная через точку С перпендикулярно к СВ, перпендикуляр- 39 на к пл. 0, пересекая последнюю по прямой п╟, проходящей через С╟ и перпендикулярной к С╟В╟, Если провести через точку В различные прямые под тем же самым острым углом к прямой СВ, то все эти прямые будут пересекать пл.  в точках, проекции которых расположатся на прямой п╟. Положим, что прямые АВ и А1В составляют с прямой СВ равные между собой утлы: " ABC = "А 1ВС. Если при этом АВ параллельна плоскости 0, то" А╟В╟С╟=" ABC. Если же сторона А 1В не параллельна 0, то проекция точки At получится на прямой и╟ ближе к С╟, чем проекция точки А. Следовательно, проекция угла A1BC представляет собой угол, меньший угла А╟В╟С╟, т. е. "А 10В╟С╟ < "А1BC 7. Если стороны угла параллельны плоскости проекций или одинаково наклонены к ней. то деление проекции угла на этой плоскости пополам соответствует делению пополам и самого угла в пространстве. 8. Деление угла в пространстве пополам соответствует делению пополам и его проекции только при условии, что стороны угла составляют с плоскостью проекций равные углы'). 9. Если стороны угла одинаково наклонены к плоскости проекций, то угол-проекция не может равняться проецируемому углу. Это (рис. 95) можно устаноэить путем совмещения угла MKN с пл. я„ при вращении вокруг прямой . При этом угол ╟ окажется внутри угла МК^, а вершины К„ и К╟ -- на общем перпендикуляре к . 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 95 Рис. 96 10. Проекции острого и тупого углов могут равняться проецируемому углу не только при условии параллельности сторон угла плоскости проекций. Из рис.96 видно, что все углы, например острый угол  и тупой угол MKNit стороны которых соответственно расположены в проецирующих плоскостях  и , имеют своей проекцией угол, равный углу MLN, причем эти углы могут приближаться к 0╟ и к 180╟. Очевидно, среди этих углов может оказаться угол, равный своей проекции. Пример построения такого угла дан в ╖ 38. ВОПРОСЫ К ╖╖ 13-15 1. Как построить на чертеже прямоугольные треугольники для определения длины отрезка прямой линии общего положения и ее углов с плоскостями проекций  и -? 2. Каким условиям должны отвечать углы между прямой общего положения и плоскостями проекций , и 2? Какое свойство параллельного проецирования относится к параллельным прямым? ') Интересующихся доказательством положений 7 и 8 отсылаем к предыдущим изданиям книги. 40 4. Можно ли по чертежу двух профильных прямых в системе ,, , определить, параллельны ли между собой эти прямые? 5. Как изображаются в системе я,, лг две пересекающиеся прямые линии? 6. Как следует истолковывать точку пересечения проекций двух скрещивающихся прямых? 7. В каком случае прямой угол проецируется в виде прямого угла? 8. В каком случае проекция тупого или острого угла обязательно является углом с тем же названием (тупой или острый)? 9. Может ли проекция острого или тупого угла, у которого одна сторона параллельна плоскости проекций, равняться самому углу в пространстве? 10. В каком случае деление проекции угла пополам соответствует такому делению самого угла в пространстве? 11. Может ли угол-проекция на некоторой плоскости проекций равняться проецируемому углу, стороны которого составляют с этой плоскостью равные углы? 12. Может ли острый или тупой угол, стороны которого не параллельны плоскости проекций, равняться своей проекции на этой плоскости? ГЛАВА III. ПЛОСКОСТЬ ╖ 16. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОСТИ НА ЧЕРТЕЖЕ Положение плоскости в пространстве определяется: а) тремя точками, не лежащими на одной прямой линии, б) прямой и точкой, взятой вне прямой, в) двумя пересекающимися прямыми, г) двумя параллельными прямыми. В соответствии с этим на чертеже плоскость может быть задана: а) проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (рис. 97), б) проекциями прямой и точки, взятой вне прямой (рис. 98), в) проекциями двух пересекающихся прямых (рис.99), г) проекциями двух параллельных прямых (рис. 100). Каждое из представленных на рис. 97--100 заданий плоскости может быть преобразовано в другое из них. Например, проведя через точки А и В (рис. 97) прямую, мы получим задание плоскости, представленное на рис. 98; от него мы можем перейти к рис. 100, если через точку С проведем прямую, параллельную прямой АВ. 0x01 graphic Рис. 97 Рис. 98 Рис. 99 Рис. 100 Рис. 101 Плоскость может быть задана на чертеже и проекциями любой плоской фигуры (треугольника, квадрата, круга и т. д.). Пусть некоторая пл.  определена точками А, В к С (рис. 101). Про